向量组线性无关(证明向量组线性无关的方法)

判断特征向量线性无关的方法：

1、显式向量组

将向量按列向量构造矩阵A。

对A实施初等行变换,

将A化成行梯矩阵。

梯矩阵的非零行数即向量组的秩。

如果向量组的秩

向量组所含向量的个数，则向量组线性相关。

否则向量组线性无关。

2、隐式向量组

一般是设向量组的一个线性组合等于0。

若能推出其组合系数只能全是0，则向量组线性无关。

否则向量组线性相关。

例如：a1=(1,1,3,1),a2=(3,-1,2,4),a3=(2,2,7,-1)

解：令x(1，1，3，1)＋y(3，－1，2，4)＋z(2，2，7，－1)＝(0，0，0，0)，

有x＋3y＋2z＝0，且x－y＋2z＝0，且3x＋2y＋7z＝0，且x＋4y－z＝0。

这个方程组有且只有零解，即x＝y＝z＝0，故线性无关。

扩展资料：

简单的相关性和无关性的判断：

1、整体线性无关，局部必线性无关。

2、向量个数大于向量维数，则此向量组线性相关。

3、若一向量组线性无关，即使每一向量都在同一位置处增加一分量，仍然线性无关。

4、若一向量组线性相关，即使每一向量都在同一位置处减去一分量，仍然线性相关。

设向量组k_1 α_1，+k_2 α_2+ +k_m α_m 线性无关，则下列向量组线性无关的是( )。A.α_1+α_2，α_2+α_3，α_3-α_1 B.α_1+α_2，α_2+α_3，α_1+2α_2+α_3 C.α_1+2α_2，2α_2+3α_3，3α_3+α_1 D.α_1+α_2+α_3，2α_1-3α_2+2α_3，3α_1+5α_2-5α_3
题目有问题，也许题目的已知条件应该是a1,a2,a3线性无关。

一个线性无关的向量组(a1,a2,a3)乘上一个矩阵A，得到一个线性相关的向量组(b1,b2,b3),为什么A的行列式|A|=0？我的理解对吗？|AB|=|A|*|B|这里的B是向量也能成立吗？
你直接用反证法不就行了吗？假设b a2 a3线性相关，故不全为0的数b1,b2,b3∈F 使得b1b+b2a2+b3a3=0所以有b1(k1a1+k2a2+k3a3)+b2a2+b3a3=0整理得b1k1a1+(b1k2+b2)a2+(b1k3+b3)a3=0因为a1 a2 a3线性无关，所以b1k1=b1k2+b2=b1k3+b3=0又因为b1 b2 b3不全为0,所以k1=0若k1≠0,则假设不成立，故向量组b a2 a3线性相关

一个线性无关的向量组(a1,a2,a3)乘上一个矩阵A，得到一个线性相关的向量组(b1,b2,b3),为什么A的行列式|A|=0？我的理解对吗？|AB|=|A|*|B|这里的B是向量也能成立吗？
你直接用反证法不就行了吗？假设b a2 a3线性相关，故不全为0的数b1,b2,b3∈F 使得b1b+b2a2+b3a3=0所以有b1(k1a1+k2a2+k3a3)+b2a2+b3a3=0整理得b1k1a1+(b1k2+b2)a2+(b1k3+b3)a3=0因为a1 a2 a3线性无关，所以b1k1=b1k2+b2=b1k3+b3=0又因为b1 b2 b3不全为0,所以k1=0若k1≠0,则假设不成立，故向量组b a2 a3线性相关

设向量组k_1 α_1，+k_2 α_2+ +k_m α_m 线性无关，则下列向量组线性无关的是( )。A.α_1+α_2，α_2+α_3，α_3-α_1 B.α_1+α_2，α_2+α_3，α_1+2α_2+α_3 C.α_1+2α_2，2α_2+3α_3，3α_3+α_1 D.α_1+α_2+α_3，2α_1-3α_2+2α_3，3α_1+5α_2-5α_3
题目有问题，也许题目的已知条件应该是a1,a2,a3线性无关。