网友提问：
河图洛书与勾股定理有什么关系吗？
优质回答：
所谓”勾股定理”，就是一个直角三角形三边长必须满足的数量关系，即斜边长的平方等于长与宽各自的平方之和。这与古代中国独立发现的”勾三股四弦五”的特例有异曲同工之妙。勾股定理的叫法是中国这么叫的，还有其他叫法：商高定理、毕达哥拉斯定理、百牛定理等。
中国最早记录关于勾股定理相关内容的史籍是《周髀算经》。
《周髀算经》中明确记载了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”（《周髀算经》上卷二）
而勾股定理的证明呢，就在《周髀算经》上卷一——
昔者周公问于商高曰：“窃闻乎大夫善数也，请问昔者包牺立周天历度——夫天可不阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”
商高曰：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。”
周公对古代伏羲（庖牺）构造周天历度的事迹感到不可思议（天不可阶而升，地不可得尺寸而度），就请教商高数学知识从何而来。于是商高以勾股定理的证明为例，解释数学知识的由来。“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”解释发展脉络——数之法出于圆（圆周率三）方（四方），圆出于方（圆形面积=外接正方形面积*圆周率/4），方出于矩（正方形源自两边相等的矩），矩出于九九八十一（长乘宽面积计算依自九九乘法表）。
“故折矩①，以为勾广三，股修四，径隅五。”开始做图——选择一个勾三（圆周率三）、股四（四方）的矩，矩的两条边终点的连线应为5（径隅五）。
“②既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。”这就是关键的证明过程——以矩的两条边画正方形（勾方、股方），根据矩的弦外面再画一个矩（曲尺，实际上用作直角三角形），将“外半其一矩”得到的三角形剪下环绕复制形成一个大正方形，可看到其中有边长三勾方、边长四股方、边长五弦方三个正方形。
“两矩共长③二十有五，是谓积矩。”此为验算——勾方、股方的面积之和，与弦方的面积二十五相等——从图形上来看，大正方形减去四个三角形面积后为弦方，再是大正方形减去右上、左下两个长方形面积后为勾方股方之和。因三角形为长方形面积的一半，可推出四个三角形面积等于右上、左下两个长方形面积，所以 勾方+股方=弦方。
注意：①矩，又称曲尺，L型的木匠工具，由长短两根木条组成的直角。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的长方形。
②“既方之，外半其一矩”此句有争议。清代四库全书版定为“既方其外半之一矩”，而之前版本多为“既方之外半其一矩”。经陈良佐[3]、李国伟[4]、李继闵[5]、曲安京[6]等学者研究，“既方之，外半其一矩”更符合逻辑。
③长指的是面积。古代对不同维度的量纲比较，并没有发明新的术语，而统称“长”。赵爽注称：“两矩者，句股各自乘之实。共长者，并实之数。
由于年代久远，周公弦图失传，传世版本只印了赵爽弦图（造纸术在汉代才发明）。所以某些学者误以为商高没有证明（只是说了一段莫名其妙的话），后来赵爽才给出证明。其实不然，摘录赵爽注释《周髀算经》时所做的《勾股圆方图》——“句股各自乘，并之为弦实，开方除之即弦。案：弦图又可以句股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以句股之差自相乘为中黄实，加差实亦成弦实。”
注意“案”中的“弦图又可以”、“亦成弦实”，“又”“亦”二字表示赵爽认为勾股定理还可以用另一种方法证明，于是他给出了新的证明。
因此中国史书有记载的勾股定理证明，来自于赵爽的《九章算术》。赵爽通过弦图，也就是利用了平面解析几何的方法证明了此定理。赵爽描述此图：“勾股各自乘，并之为玄实。开方除之，即玄。”
古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年发现了勾股定理，而我国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。
《河图》《洛书》是古代中国流传多年的两幅具有神秘色彩的图案，是阴阳五行术数之源。这两幅图最早出现记录是在《尚书》中，之后便是《易传》，后来诸子百家中就多有河洛两图的记载。
在《河图》、《洛书》图传出之前，除了神话传说之外，没有任X献对河图洛书做过具体的说明。《尚书。顾命篇》记载：周康王即位，从周成王那里继承了八件国宝：“越玉五重陈宝：赤刀、大训、弘璧、琬琰在西序;大玉、夷玉、天球、河图在东序。”这里首次提到“河图”。《尚书。中候》说：“元龟负书出”，则与“洛书”有关。《系辞传上》说：“河出图，洛出书，圣人则之”。孔子把河图洛书并列一起。在古代的文献中，上自伏羲、黄帝、尧、舜、禹，下至商汤、周公、成王都与河图、洛书有联系。
又相传，大禹之时—洛阳之西，洛水中有神龟，背铭洛书，示于大禹。禹即依书治水奏功，遂划天下为九州。又依此定九章X，X天下。后收入《尚书》中，名《洪范》。后人对《河图洛书》，则倾向于《周易·系辞下》的“河出图，洛出书，圣人则之。”然“河洛图式”于宋前所未见。故疑“河洛图式”是宋人所为，非古时所有。于是以后一千多年，图书之争，愈演愈烈。1977年春，安徽阜阳，于西汉汝阴侯墓中，出土一件“太乙九宫占盘”，争论从此告一段落。因其图式与“洛书数”完全相同，绝非宋人臆造。
河图和洛书之数共为100，列为平方，每方为10，为斜线对角分之，则河图得55数，洛书得45数，这反映数理之自然，所以古人说河图和洛书相为表里。杭辛斋在《易楔》中指出:“河图为体而中有用，洛书为用而中有体”。“河图之X一为七，七阳也;二合七为九，九阳也;三合八为十一，一阳也;四合九为十三，三阳也;五合十为十五，五阳也;总数五十有五，六阳也。洛书之对位则皆阴也，一九合十，三七合十，二八合十，四X十，总数四十，皆阴数也，而七九等数在外围成圆形，二四六八等数在内成方形，中央藏五，共四十五数。”
1、河图之象
河图上，排列成数阵的白点和黑点，蕴藏着无穷的奥秘。白点表示奇、阳，黑点表示偶、阴。此一白一黑，既含阴阳、天地运行之道，又寓五行、四象变化之理。一六在后，象北方壬癸水，玄武星象;三八在左，象东方甲乙木，青龙星象;二七在前，象南方丙丁火，朱雀星象;四九在右，象西方庚辛金，X星象;五十在中，象中央戊己土，表示时空奇点;而中间五点，又象太极含四象;中一点，又象太极含一气。
《河图》《洛书》之谜，河洛数字能推算生死(图解)
传说中，依河图之象，伏羲通神明之德以画八卦：正南纯阳方位画乾，正北纯阴方位画坤，正东画离象阳中有阴，正西画坎象阴中有阳。四正既定，再配以四偶。东北阳生阴下画震，西南阴生阳下画巽，观阳长阴消画兑于东南，观阴盛阳微画艮于西北。阴阳由微至著，先天循环无端，内含生生之机，此皆混元一气之妙用，太极X之神功。
河图之象，既是体道、悟道的入手处，也是大道修炼必须慎行的内在里程。
2、河图之数
河图共有十个数，其中一三五七九为阳，二四六八十为阴。如《易·系辞》所说：“天一，地二，天三，地四，天五，地六，天七，地八，天九，地十。天数五，地数五，五位相得而各有合，天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五。此所以成变化而行鬼神也。” 河图之数，乃天地万物生成变化之定数：天一生水，地六成之;地二生火，天七成之;天三生木，地八成之;地四生金，天九成之;天五生土，地十成之。万物有生数，当生之时方能生;万物有成数，能成之时方可成。
3、河图之理
左旋之理：河图之象坐北朝南，左东右西，水生木、木生火、火生土、土生金、金生水，为五行左旋相生。中心不动，一三五七九为阳数左旋，二四六八十为阴数左旋，皆顺时针旋转，示五行万物相生之运行。所以顺生逆死，左旋主生。阴阳之理：造化虽分五行，而实为阴阳之运用、一气之来往。木火相生为阳，金水相生为阴，乃阴X火既济之理;五行中各有阴阳相交，生生不息，乃阴阳互根同源之理;中土为静，外四象为动，乃阴阳动静之理;木火阳升，金水阴降，分别抱阴土阳土于中，则是太极生两仪。水为太阴，火为太阳，木为少阳，金为少阴，乃太极两仪四象之理。故河图者，阴阳之用、易象之源也。
先天之理：先天者，以天为天，人受天制，人是天之属，此时之天为先天。先天之理，五行相生相制，以生发为主。《河图》之理，土在中间生合万物，五行左旋动而相生，故先天之理，左旋而生。五生数统五成数，表明生数在内而成数在外，此所以万物内生而外成。《河图》之象、之数、之理，至简至易，又深邃无穷。
《洛书》
1、《洛书》之象
《洛书》中白点黑点其义与河图相同。
《洛书》与《河图》互为经纬，八卦九宫更为表里。一般认为《河图》为体，《洛书》为用;《河图》主常，《洛书》主变;《河图》主静，《洛书》主动;《河图》重合，《洛书》重分;《河图》形圆，阴阳合一，五行一气，无为顺生自然之道;《洛书》形方，阴阳错综，五行克制，有为逆运变化之道;圆以象天，一气流行，浑然天理，无修无证，从太极中安身，所以了性;方以象地，两仪变化，天人合发，有增有减，在阴阳中造作，所以了命。
2、《洛书》之数
《洛书》共有九个数，其排列微妙，纵横交错加起来均为十五。如以《河图》之数为先天参照，当发现《洛书》之数的后天变化在于返还先天，即“错中有综”，三五合一之秘：北一为水，西南二为火，东三为木，东南四为金，中五为土。木生火为一家，积数二三为一五;金生水为一家，积数一四为一五;土居中央为一家，积数自为一五。然三五合一，不过一阴一阳而已，木火一五为阳，金水一五为阴，此二五之精，真阴真阳，皆调和于中土。此中妙合后天返先天之玄机。
《洛书》之数，火二七、金四九阴阳错位，水一六、木三八阳不动而阴错，是谓火金逆克而使水木顺生之气收敛。克之正所以全生，逆之正所以成顺，故外错克而中综生。错者，阴阳错乱于外而相克也。综者，阴阳综整于中而相生也。
3、《洛书》之理
后天之理：后天者，人能识天之时，且能逆天而行，人就是天，此时之天为后天。后天之理，五行相克相制，以灭亡为主。《洛书》之理，五行逆运以阴克阳，故后天之理右旋而制。错中有综，借阴复阳，此乃有为变化归复之道。
《洛书》之象、之数、之理，与《河图》先后天合一，无论是无为自然之道，还是有为逆运之术，天然浑沦，妙化有序。
《河图》先天，以道全形之事;《洛书》后天，以术延命之事。《河图》《洛书》，以先后天之象，演先后天之数，“理者数之本，数者理之验”。是以有志于大道修炼者，能“体用俱备，理数兼赅，性命双修之道，无余蕴矣”。
首先我们观察河图洛书可以发现这两幅图具有数字性和结构对称性这两个明显特点：
第一，数字性。数的概念直接而又形象地包含在图书之中。“○ ”表示1；“●●”表示2；……依次类推，河图含有1~10共10个自然数，洛书含有1~9共9个自然数。其中，由黑点构成的数为偶数，由白点构成的数为奇数，表达了数的奇偶观念。因此，数字性是河图洛书的基本内容之一。
第二，对称性。两幅图式的结构分布形态对称，具体表现在二个层面：其一，由黑点或白点构成的每一个数的结构形态是对称的；其二，整体结构分布对称。河图，以二个数字为一组，分成五组，以[5，10]居中，其余四组[7，2]、[9，4]、[6，1]、[8，3]依次均匀分布在四周。洛书，以数5居中，其余8个数均匀分布在八个方位。
河图中包含的的数理关系
1、等和关系。除中间一组数（5，10）之外，纵向或横向的四个数字，其偶数之和等于奇数之和。
纵向数字：7、2；1、6 7+1=2+6
横向数字：8、3；4、9 8+4=3+9
并得出推论：河图中，除中间一组数[5，10]之外，奇数之和等于偶数之和，其和为20。
2、等差关系。四侧或居中的两数之差相等。上（7—2）；下（6—1）；左（8—3）；右（9—4）；中（10—5），其差均为5。
洛书中包含的数理关系
1、等和关系。非常明显地表现为各个纵向、横向和对角线上的三数之和相等，其和为15。
2、等差关系。细加辨别，洛书隐X等差数理逻辑关系。
①洛书四边的三个数中，均有相邻两数之差为5，且各个数字均不重复。
上边[4、9、2] 9-4=5
下边[8、1、6] 6-1=5
左边[4、3、8] 8-3=5
右边[2、7、6] 7-2=5
显然这个特点与河图一样，反映出洛书与河图有着一定的内在联系。
②通过中数5的纵向、横向或对角线上的三个数，数5与其它两数之差的绝对值相等。
纵向|5-9|=|5-1|或9-5=5-1
横向|5-3|=|5-7|或5-3=7-5
右对角线|5-2|=|5-8|或5-2=8-5
左对角线|5-4|=|5-6|或5-4=6-5
一、河图之数
河图之数包括天地之数，万物生存之数，五行之数，大衍之数，天干X之数，六甲纳音之数。本文重点介绍以下几项：
天地之数：河图共有10个数，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10。其中1，3，5，7，9，为阳，2、4、6、8、10，为阴。阳数相加为25，阴数相加得30，阴阳相加共为55数。所以古人说：”天地之数五十有五”，即天地之数为55，”以成变化而行鬼神也”。即万物之数皆由天地之数化生而已。
万物生存之数：天一生水，地六成之；地二生火天七成之；天三生木，地八成之；地四生金，天九成之；天五生土，地十成之。所以一为水之生数，二为火之生数，三为木之生数，四为金之生数，五为土之生数。六为水之成数，七为火之成数，八为木之成数，九为金之成数，十为土之成数。万物有生数，当生之时方能生；万物有成数，能成之时方能成。所以，万物生存皆有其数也。
大衍之数：大衍之数50即五行乘土之成数10；同时也是天地之数的用数。天地之数55，减去小衍之数5得大衍之数50，其中小衍为天地之体数，大衍为天地之用数。所谓”大衍之数50其用49″，就是用大衍之数预测的占筮之法：以一为体，四十九为用，故其用四十又九。
二、河图之象
河图用十个黑白圆点表示阴阳、五行、四象，其图为四方形。如下：
北方：一个白点在内，六个黑点在外，表示玄武星象，五行为水。
东方：三个白点在内，八个黑点在外，表示青龙星象，五行为木。
南方：二个黑点在内，七个白点在外，表示朱雀星象，五行为火。
西方：四个黑点在内，九个白点在外，表示X星象，五行为金。
中央：五个白点在内，十个黑点在外，表示时空奇点，五行为土。
（其中，单数为白点为阳，双数为黑点为阴。四象之中，每象各统领七个星宿，共28宿。）以上为《河图》。其中四象，按古人坐北朝南的方位为正位就是：前朱雀，后玄武，左青龙，右X。此乃风水象形之源也。
中国古代先民的数字崇拜，主要表现在对一至十这十个基本数字的崇拜，以及对十以后的由基本数字生发出来的一些数字的崇拜。十以后的某些数字如由二、二、三相乘产生的十二，由二、三、四相乘产生的二十四，四七产生的二十八，六六产生的三十六，七七产生的四十九，八八产生的六十四，九九产生的八十一，由十产生的百、千、万等。在古代中国人的文化观念中，一至十这十个基本数字都不单是数学意义的数字，它们还具有美学意义、祥瑞意义、世界观及宇宙观意义等，每个基本数字都是完美数、吉利数、理想数、大智慧数，细说起来都含义无穷。
《周易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。”这一论断有多重意义：一是介绍了“图”与“书”的出处；二是指出了图与书独立于八卦；更重要的是三，图书重于八卦。在《周易》之中，八卦是圣人的作品，是圣人“仰观天文、俯察地理”之后的作品，而图书则是“圣人则之”的作品。则，名词之义为准则、原则；动词之义为效法、仿照。“则之”之“则”，为动词之效法。圣人作八卦而则图书，显然，图书更具有根本性，时间上更具有领先性。
“图书”这一双音合成词合成于《汉书》。《汉书·五行志》：“河洛出图书。” 从此，中华大地上有了“图书”一词。
八卦之前之上有图书，真正位于X经之首的是图书。图书，应该是文化之源。
三、图书的源头在天文
为了采集瓜果，为了捕鱼狩猎，为了插秧下种，必须确定“何种天气”最为合适。天气由天文所决定，因此，自然而然开始了天文研究。
天文研究，第一研究对象是太阳，第二是月亮，第三是北斗星，观测对象还有二十八宿，金木水火土五星，但前三位是日月与北斗。观测的是天文，量化的是数字，天文的量化即是历法。天文学实乃中华大地上的第一学，历法实乃中华大地上的第一法。天文历法是在文字之前出现的，是用抽象符号表达的。
以太阳为坐标形成了太阳历，十月太阳历是用洛书表达的。以太阳月亮北斗为坐标形成了十二月阴阳合历，阴阳合历是用河图表达的。
四、直角三角形来源
直角三角形从何而来？源于天文观测。制定太阳历，立竿测影是方法之一。直角三角形就形成这种方法之中，竿为股，影为勾，竿影顶端相连为弦。同样是直角三角形，形成的途径并不一样，古希腊的直角三角形是在纸上画出来的，东方的是在空间自然形成的。
五、图书的基础性贡献
如果展开讨论这一问题，会形成一部专著。这里仅举几个重要例子说明问题：
其一，图书奠定了永恒的时空观。日行一度，历中一天，日周天365-365度，历中365-366天。度论空间，天论时间，时间空间一体形成。日周天一次，万物生长收藏一个过程。动态的时间，动态的空间，动态的万物，历中的时空物三者构成了无限循环的一体关系。牛顿的绝对时空观止于爱因斯坦，中华先贤所建立的动态的、无限循环的时空观，至今无人提出挑战，将来肯定会为人类做出贡献。
其二，图书解答了“五音六律”问题。角徵宫商羽五音，是十月太阳历的伴生物。一方一音，五方五音，时空中诞生了天籁五音。阴阳十二律对应于十二月，是阴阳合历的伴生物。《周髀算经》：“冬至夏至，观律之数，听钟之音。”十二律，经明朝朱载堉整理后形成十二平均律并传入西方，成为今天世界通行的标准音调。
历，中华X今天还在用；律，全世界今天还在用。历与律，几千年不衰不败。试问：落后的文化，落后的思路与方法，会产生出如此精美绝伦的历与律吗？
其三，确定了阴阳两极，发现了阴阳转换规律。苗族古历中的阳旦与阴旦，实际上是阴阳两极。冬至为阴极，夏至为阳极；阴极生阳，阳极生阴；冬至一阳生，夏至一阴生；阴阳二气规律性地转换在阴阳两极之间。一旦发现，万年不变，这是不是规律？冬至，太阳相交于南回归线；夏至，太阳相交于北回归线。冬至夏至，或昼长夜短或昼短夜长，阴阳偏颇到了极点；偏颇不能评历史，这就是冬夏不能喻历史的奥秘。春分秋分，太阳相交于赤道，全年只有这两天昼夜阴阳平均；公平平均，是春秋可以喻历史的奥秘。
其四，确定以天文论人文的思路。天地之大德曰生，人之大德曰制器。以天文论人文，就是要论出制器的智慧。做人必须做事！源头文化所出现的圣人，个个都是做事典范，个个都有发明创造的功绩。天生万物，人制器具，这是源头文化所开创的基本道理。以天文论人文，其次论出了“天如何，人如何” 的为人公式。君子与圣人，做人都应该以天理天则为坐标。天无私覆，地无私载，日月无X。天道大公，人应该无私，这是圣人之理。天行刚健，人行自强不息，这是君子之理。以天文论人文，还要论出化天下与卫天下的哲理。“观乎人文，以化成天下。”有人文，才有文明之天下。“弧矢之利，以威天下。”有利器，才有威风之天下。以文化化天下，这是其一。以利器卫天下，这是其二。儒家对源头文化的继承，只继承了其一，没有继承其二。
其五，确定以天文论天气的根本思路。以天文论天气，论出了上下几千年一直再使用的二十四节气。为何气象卫星认识不了一星期之外的天气？不是仪器不灵敏而是思路不正确。割裂天文与天气的联系，只能认识眼前，不能认识长远，更不能认识规律与永恒。有必然的天灾，为何不能做出准确的预报？同样是思路错误所致。只有沿着以天文论天灾的思路，才能找出天灾在时间与空间中的规律性。
其六，奠定各科的理论基础。源于天文，奠定于历法的阴阳五行学说，奠定了中华文化与中医文化的理论基础。把卦图寄给莱布尼茨的法国传教士白晋，曾对阴阳所做出了至高无上的评价：阴阳表示了所有科学原理。在西方，数理化各学科之间，没有统一的理论基础。
其七，奠定了天人合一的系统论。天地人三者之间，是“分而为三，合而为一”的关系。严酷的环境污染证明，人天关系绝对不能分割而论。天人合一的系统论，昨天创造了利用自然而不伤害自然的中华文明，今天可以为可持续发展提供哲理之源。
其八，创造了永不褪色的成语与格言。源头文化中的至理名言与成语，绝大部分相关于天文历法。立竿测影，影长为益，影短为损。长极而损，短极而益。《周髀算经》：“冬至夏至，为损益之始。”至理名言“满招损，谦受益”，产生于日影之下。“物极则反”之理，源于北斗星斗柄的旋转。 “原始反终”“终者有始”“否极泰来”“穷则反，终则始”等众多成语，均相关于竿下的日影变化。
从以上史料和河洛图书的数理分析来看，中国古人通过天文观测发现了某些数理的变化规律把它们绘制成河图和洛书，而勾股定理只是其中一个数理表述，在同一时期内没有证明这个数学定理，民间传说周公证明了这个定理没有依据，可能是资料遗失了，可以确定的是赵爽在《周髀算经》里对定理的描述，和在《九章算朮》里对定理的证明。从河洛图书的数理分析，是记载通过天文观测北斗星移一年中的位置变化，给出了蕴含勾股定理的数理关糸发现的图书，却未能提供相关勾股定理的证明。所以说河洛图书的内在数理和勾股定理是紧密关联的。
其他网友回答
河图洛书是讲整个宇宙万事万物的道，规律，规则，规矩，因果。勾股定律或三角函数根本不沾边两回亊，扯不到一块。个人看法供参考。
其他网友回答
两者没有关系。
河图洛书是古人在缺乏科学知识的情况下，偶尔发现了些数字的简单组合规律，比现代数学的难度差了天地之别。前者把发现的数字简单组合配上各种可能的象征意义，就成了谈玄之学，没有继续深入研究进入到数学的高深层次。
勾股定理揭示的是客观规律，发现并不容易。中国古代发现的也仅是勾股定理的一些特例，比如直角三角形，边长各为3，4，5。能想到各边的平方关系是思维上的飞越。
应用上前者把数字进行组合，各种象征意义进行叠加，配上不靠谱的五行互相生克的说法，就形成更不靠谱的各种预测的算卦，十次蒙对一次，就大吹特吹。人人对同一卦象的解释千差万别，因为本身就不是科学，不能重复验证，不能有明确的结果，也就对实际生活没有指导意义。聊河图洛书能云山雾罩地故作高深，但只能当谈资娱乐。半点不懂也不影响每个人的生活。
勾股定理成了科学的基础知识，用于所有科学技术的方方面面，因为是科学，所以，结果异常明确，过去有效，过万年依然成立。勾股定理关系到每个人的生活。
其他网友回答
河图洛书隐含宇宙的奥秘，勾股定理是人类已经解开的真理，二者都真实存在于客观的物质世界之中。
其他网友回答
解读切入不同，得到的结果也会不一样。
平凡人，以常抱敬畏心为是。
