康托尔集的构造与性质？
在数学中，康托尔集，由德国数学家格奥尔格·康托尔在1883年引入（但由亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯在1875年发现），是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。
通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。
虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。
延伸阅读
什么是康托尔三分集？
将闭区间[0,1]，去掉中间的1/3，留下[0,1/3]和[2/3,1]，再分别去掉这两段中间的1/3，变成等长的4段……重复这个过程无穷多步，就得到了康托尔三分集。
康托尔集有无穷多个点，占据[0,1]区间长度却为0，是一个分形，具有非整数维数、自相似性等分形的特点。
康托尔集是不可数的，怎么证明是零测度集？
先定义一下记号：C_0=[0,1]，C_i是在C_{i-1}的每个区间段里取左右各1/3再并起来得到的集合，C=∩C_i是康托尔集（说得不太清楚，你应该懂我的意思……）要证明m(C)=m(∩C_i)=0，只要把每次在C_i里抠掉部分的测度减掉就行了，因为每次抠掉的部分都是完全新增的，和之前抠掉的没有交集。
设从C_{i-1}抠掉而得到C_i的部分的测度是x_i，那么x_{i+1}=2x_i*1/3=2/3*x_i且x_1=1/3，所以x_i=1/3*(2/3)^(i-1)，所以m(C)=1-∑x_i=0
康托尔集的性质特点？
康托三分集中有无穷多个点，所有的点处于非均匀分布状态。此点集具有自相似性，其局部与整体是相似的，所以是一个分形系统。
康托三分集具有
（1）自相似性；
（2）精细结构；
（3）无穷操作或迭代过程；
（4）传统几何学陷入危机。用传统的几何学术语难以描述，它既不满足某些简单条件如点的轨迹，也不是任何简单方程的解集。其局部也同样难于描述。因为每一点附近都有大量被各种不同间隔分开的其它点存在。
（5）长度为零；
（6）简单与复杂的统一。
康托尔集P具有X性质：
1、P是完备集。
2、P没有内点。
3、P的基数为c。
康托尔集是一个基数为c的疏朗完备集。
康托集是什么，实数性质还有那些？
康托集是指著名的康托尔完X，属于高等数学 是这样构成的：给出闭区间[0,1],把它三等分,第一次删去中间的那个子集(1/3,2/3),剩下[0,1/3]和[2/3,1],再把这两个闭区间三等分,第二次删去中间的子集(1/9,2/9)、（7/9，8/9），剩下[0,1/9]、[2/9,1/3]、[2/3,7/9]、[8/9,1]，如此继续下去直至无穷，那么最终剩下的集合的测度可用下式计算： 1-（1/3+2/9+4/27+……）=1-（1/3）/（1-2/3）=0 康托尔由此得出，剩下的集合是测度为0的连续基数集，这就是康托尔完X。
有理数和无理数统称为实数，实数有下列重要性质： 1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数的形式；无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的整数，且． 2．有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．
